Modelo 3D
Agora, vamos deduzir as equações diferenciais que descrevem a dinâmica 3D de um quadricóptero. Neste modelo completo, o drone pode se mover e girar livremente no espaço, o que traz toda a riqueza — e também a dificuldade — do problema. Para representá-lo, será necessário recorrer à álgebra vetorial e às matrizes de rotação, que permitem descrever posições, velocidades e orientações em três dimensões.
Introdução
A dinâmica 3D possui 6 graus de liberdade (3 de translação e 3 de rotação) e, portanto, devemos obter 12 equações diferenciais (2 para cada grau de liberdade).
É muito mais fácil trabalhar com a notação vetorial e aplicar as equações de Newton-Euler 2 vezes (uma para translação e outra para rotação) do que 6 vezes com a notação escalar (uma para cada grau de liberdade).
As posições e ângulos serão descritos no sistema de coordenadas inercial, já as velocidades lineares e angulares no sistema de coordenadas móvel. Dessa forma, os vetores de estados do nosso sistema serão \({\color{magenta}\vec{r}}\), \({\color{magenta}\vec{\delta}}\), \({\color{cyan}{\vec{v}}\,'}\) e \({\color{cyan}{\vec{\omega}}\,'}\), onde:
\[
{\color{magenta}\vec{r}}
=
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}x} \\
{\color{magenta}y} \\
{\color{magenta}z} \\
\end{bmatrix}
\qquad
{\color{magenta}\vec{\delta}}
=
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\phi} \\
{\color{magenta}\theta} \\
{\color{magenta}\psi} \\
\end{bmatrix}
\qquad
{\color{cyan}{\vec{v}}\,'}
=
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}v_x\,'} \\
{\color{cyan}v_y\,'} \\
{\color{cyan}v_z\,'} \\
\end{bmatrix}
\qquad
{\color{cyan}{\vec{\omega}}\,'}
=
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'} \\
\end{bmatrix}
\qquad
\]
Cinemática
Já deduzimos a matriz de rotação utilizando os ângulos de Euler:
\[
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}x} \\
{\color{magenta}y} \\
{\color{magenta}z} \\
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\cos{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} & \cos{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} & -\sin{\color{magenta}\theta} \\
\sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} - \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} & \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} & \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
\cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} & \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} - \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} & \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta}
\end{bmatrix}
}_{R}
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}x\,'} \\
{\color{cyan}y\,'} \\
{\color{cyan}z\,'} \\
\end{bmatrix}
\]
Translação
Exercício 1
Determine \({\color{magenta}\dot{\vec{r}}}\) em função dos estados do sistema.
Resposta
\[
\begin{align*}
{\color{magenta}\dot{\vec{r}}} &= R^T {\color{cyan}{\vec{v}}\,'} \\
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\dot{x}} \\
{\color{magenta}\dot{y}} \\
{\color{magenta}\dot{z}} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
\cos{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} & \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} - \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} & \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} \\
\cos{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} & \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} & \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} - \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} \\
-\sin{\color{magenta}\theta} & \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} & \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}v_x\,'} \\
{\color{cyan}v_y\,'} \\
{\color{cyan}v_z\,'} \\
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\dot{x}} \\
{\color{magenta}\dot{y}} \\
{\color{magenta}\dot{z}} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}v_x\,'} \cos{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} - \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} \right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} \right) \\
{\color{cyan}v_x\,'} \cos{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} \right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} - \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} \right) \\
- {\color{cyan}v_x\,'} \sin{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}v_y\,'} \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}v_z\,'} \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
Rotação
Exercício 2
Determine \({\color{magenta}\dot{\vec{\delta}}}\) em função dos estados do sistema.
Resposta
Suponhamos que o referencial móvel esteja em movimento rotacional em torno da origem, cujo vetor velocidade angular \({\color{cyan}\vec{\omega}\,'}\) é dado por:
\[
{\color{cyan}\vec{\omega}\,'} =
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\]
Como o vetor \({\color{magenta}\vec{r}}\) é fixo no sistema de coordenadas inercial, sua derivada temporal, vista pelo sistema inercial, é nula:
\[
{\color{magenta}\dot{\vec{r}}} = \vec{0}
\]
Por outro lado, sua derivada temporal, vista pelo sistema fixo ao corpo, depende do vetor velocidade angular do sistema fixo ao corpo(1):
- O sinal negativo aparece porque, se o sistema de coordenadas do corpo gira em uma direção, o vetor será visto pelo sistema fixo ao corpo como girando na direção oposta.
\[
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} = -{\color{cyan}\vec{\omega}\,'}\times{\color{cyan}\vec{r}\,'}
\]
Outra forma de representar essa equação é:
\[
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} = -{\color{cyan}\tilde{\omega}\,'}{\color{cyan}\vec{r}\,'}
\]
Onde \(\tilde{\omega},'\) é a velocidade angular representada como uma matriz antissimétrica correspondente ao seu produto vetorial:
\[
{\color{cyan}\tilde{\omega}\,'} = {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times =
\begin{bmatrix}
0 & -{\color{cyan}\omega_z\,'} & {\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'} & 0 & -{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
-{\color{cyan}\omega_y\,'} & {\color{cyan}\omega_x\,'} & 0
\end{bmatrix}
\]
Diferenciando a equação anterior e utilizando essa propriedade, obtém-se:
\[\begin{align}
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} &= \frac{d}{dt} \left( {\color{cyan}\vec{r}\,'} \right) \nonumber \\
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} &= \frac{d}{dt} \left( R {\color{magenta}\vec{r}} \right) \nonumber \\
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} &= \dot{R}{\color{magenta}\vec{r}} + R \cancelto{\vec{0}}{{\color{magenta}\dot{\vec{r}}}} \nonumber \\
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} &= \dot{R} \left(R^T {\color{cyan}\vec{r}\,'}\right) \nonumber \\
{\color{cyan}\dot{\vec{r}}\,'} &= \dot{R}R^T {\color{cyan}\vec{r}\,'}
\end{align}\]
Comparando essa equação com a anterior, é possível obter a matriz antissimétrica da velocidade angular em termos da matriz de rotação e sua derivada temporal:
\[
{\color{cyan}\tilde{\omega}\,'} = -\dot{R}R^T
\]
Os ângulos de Euler não são um vetor e não podem ser facilmente isolados. Entretanto, substituindo \(R\) e \(\dot{R}\), as velocidades angulares podem ser escritas em função dos ângulos de Euler e de suas derivadas temporais em notação matricial:
\[
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & - \sin{\color{magenta}\theta} \\
0 & \cos{\color{magenta}\phi} & \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
0 & -\sin{\color{magenta}\phi} & \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\dot{\phi}} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}}
\end{bmatrix}
\]
Invertendo a matriz acima, as derivadas temporais dos ângulos de Euler podem ser escritas em função deles próprios e das velocidades angulares:
\[
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\dot{\phi}} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & \sin{\color{magenta}\phi}\tan{\color{magenta}\theta} & \cos{\color{magenta}\phi}\tan{\color{magenta}\theta} \\
0 & \cos{\color{magenta}\phi} & - \sin{\color{magenta}\phi}\\
0 & \sin{\color{magenta}\phi}\sec{\color{magenta}\theta} & \cos{\color{magenta}\phi}\sec{\color{magenta}\theta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\]
Esta última equação é a equação cinemática de um corpo rígido utilizando ângulos de Euler com a sequência de rotações \(z-y-z\).
Como temos alguns termos \(\tan{\color{magenta}\theta}\) e \(\sec{\color{magenta}\theta}\), podemos colocar o \(\frac{1}{\cos{\color{magenta}\theta}}\) em evidência:
\[
\begin{bmatrix}
{\color{magenta}\dot{\phi}} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}}
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{\cos{\color{magenta}\theta}}
\begin{bmatrix}
\cos{\color{magenta}\theta} & \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta} & \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta} \\
0 & \cos{\color{magenta}\phi} \cos{\color{magenta}\theta} & - \sin{\color{magenta}\phi} \cos{\color{magenta}\theta} \\
0 & \sin{\color{magenta}\phi} & \cos{\color{magenta}\phi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\]
Isso evidencia a singularidade que ocorre quando \(\theta = \pm 90^{\circ}\).
Cinética
Já deduzimos as equações de Newton-Euler:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{cyan}\dot{\vec{v}}\,'} = - {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times {\color{cyan}\vec{v}\,'} + \frac{1}{m} \sum {\color{cyan}\vec{f}\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\vec{\omega}}\,'} = - I^{-1} \left( {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times I {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \right) + I^{-1} \sum {\color{cyan}\vec{\tau}\,'}
\end{array}
\right.
\]
Translação
O vetor de forças do drone \({\color{cyan}\vec{f}_d\,'}\) é mais fácil de ser escrito no sistema de coordenadas móvel:
\[
{\color{cyan}\vec{f_d}\,'} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
{\color{#65DD18}f_t}
\end{bmatrix}
\]
Exercício 3
Determine \({\color{cyan}\dot{\vec{v}}\,'}\) em função dos estados do sistema.
Dics: substitua as somatórias de forças \(\sum {\color{cyan}\vec{f}\,'}\) na equação de Newton-Euler de translação.
Resposta
\[
\begin{align*}
{\color{cyan}\dot{\vec{v}}\,'} &= - {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times {\color{cyan}\vec{v}\,'} + \frac{1}{m} \sum {\color{cyan}\vec{f}\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\vec{v}}\,'} &= - {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times {\color{cyan}\vec{v}\,'} + \frac{1}{m} \left( - m {\color{cyan}\vec{g}\,'} + {\color{cyan}\vec{f}_d\,'} \right) \\
{\color{cyan}\dot{\vec{v}}\,'} &= - {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \times {\color{cyan}\vec{v}\,'} - R {\color{magenta}\vec{g}} + \frac{1}{m} {\color{cyan}\vec{f}_d\,'} \\
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'}
\end{bmatrix}
&=
-
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}v_x\,'} \\
{\color{cyan}v_y\,'} \\
{\color{cyan}v_z\,'}
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
\text{c}{\color{magenta}\theta}\text{c}{\color{magenta}\psi} & \text{c}{\color{magenta}\theta}\text{s}{\color{magenta}\psi} & -\text{s}{\color{magenta}\theta} \\
- \text{c}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\psi} + \text{s}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\theta}\text{c}{\color{magenta}\psi} & \text{c}{\color{magenta}\phi}\text{c}{\color{magenta}\psi} + \text{s}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\theta}\text{s}{\color{magenta}\psi} & \text{s}{\color{magenta}\phi}\text{c}{\color{magenta}\theta} \\
\text{s}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\psi} + \text{c}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\theta}\text{c}{\color{magenta}\psi} & - \text{s}{\color{magenta}\phi}\text{c}{\color{magenta}\psi} + \text{c}{\color{magenta}\phi}\text{s}{\color{magenta}\theta}\text{s}{\color{magenta}\psi} & \text{c}{\color{magenta}\phi}\text{c}{\color{magenta}\theta} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
g
\end{bmatrix}
+ \frac{1}{m}
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
{\color{#65DD18}f_t}
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
- {\color{cyan}\omega_y\,' v_z\,'} + {\color{cyan}\omega_z\,' v_y\,'} + g \sin{\color{magenta}\theta} \\
- {\color{cyan}\omega_z\,' v_x\,'} + {\color{cyan}\omega_x\,' v_z\,'} - g \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
- {\color{cyan}\omega_x\,' v_y\,'} + {\color{cyan}\omega_y\,' v_x\,'} - g \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
Rotação
O vetor de torques do drone \({\color{cyan}\vec{\tau}_d\,'}\) é mais fácil de ser escrito no sistema de coordenadas móvel:
\[
{\color{cyan}\vec{\tau_d}\,'} =
\begin{bmatrix}
{\color{#65DD18}\tau_x} \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
Exercício 4
Determine \({\color{cyan}\dot{\vec{\omega}}\,'}\) em função dos estados do sistema.
Dics: substitua as somatórias de torques \(\sum {\color{cyan}\vec{\tau}\,'}\) na equação de Newton-Euler de rotação.
Resposta
\[
\begin{align*}
{\color{cyan}\dot{\vec{\omega}}\,'} &= - I^{-1} \left( {\color{cyan}\omega\,'} \times I {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \right) + I^{-1} \sum {\color{cyan}\vec{\tau}\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\vec{\omega}}\,'} &= - I^{-1} \left( {\color{cyan}\omega\,'} \times I {\color{cyan}\vec{\omega}\,'} \right) + I^{-1} {\color{cyan}\vec{\tau}_d\,'} \\
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'}
\end{bmatrix}
&= -
\begin{bmatrix}
I_{xx} & 0 & 0 \\
0 & I_{yy} & 0 \\
0 & 0 & I_{zz}
\end{bmatrix}^{-1}
\left(
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
I_{xx} & 0 & 0 \\
0 & I_{yy} & 0 \\
0 & 0 & I_{zz}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\right)
+
\begin{bmatrix}
I_{xx} & 0 & 0 \\
0 & I_{yy} & 0 \\
0 & 0 & I_{zz}
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
{\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{#65DD18}\tau_y} \\
{\color{#65DD18}\tau_z}
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'}
\end{bmatrix}
&= -
\begin{bmatrix}
\frac{1}{I_{xx}} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{I_{yy}} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{I_{zz}}
\end{bmatrix}
\left(
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
I_{xx} {\color{cyan}\omega_x\,'} \\
I_{yy} {\color{cyan}\omega_y\,'} \\
I_{zz} {\color{cyan}\omega_z\,'}
\end{bmatrix}
\right)
+
\begin{bmatrix}
\frac{1}{I_{xx}} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{I_{yy}} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{I_{zz}}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
{\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{#65DD18}\tau_y} \\
{\color{#65DD18}\tau_z}
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
- \frac{I_{zz}-I_{yy}}{I_{xx}} {\color{cyan}\omega_y\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
- \frac{I_{xx}-I_{zz}}{I_{yy}} {\color{cyan}\omega_x\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_y} \\
- \frac{I_{yy}-I_{xx}}{I_{zz}} {\color{cyan}\omega_x\,' \omega_y\,'} + \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_z}
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]
Linearização
Se juntarmos as equações cinemática e cinéticas, obtemos a dinâmica completa do sistema:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{magenta}\dot{x}} = {\color{cyan}v_x\,'} \cos{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} - \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} \right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\cos{\color{magenta}\psi} + \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\psi} \right) \\
{\color{magenta}\dot{y}} = {\color{cyan}v_x\,'} \cos{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \sin{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} + \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} \right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cos{\color{magenta}\phi}\sin{\color{magenta}\theta}\sin{\color{magenta}\psi} - \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\psi} \right) \\
{\color{magenta}\dot{z}} = - {\color{cyan}v_x\,'} \sin{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}v_y\,'} \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}v_z\,'} \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
{\color{magenta}\dot{\phi}} = {\color{cyan}\omega_x\,'} + {\color{cyan}\omega_y\,'} \sin{\color{magenta}\phi} \tan{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}\omega_z\,'} \cos{\color{magenta}\phi} \tan{\color{magenta}\theta} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \cos{\color{magenta}\phi} - {\color{cyan}\omega_z\,'} \sin{\color{magenta}\phi} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \sin{\color{magenta}\phi} \sec{\color{magenta}\theta} + {\color{cyan}\omega_z\,'} \cos{\color{magenta}\phi} \sec{\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} = - {\color{cyan}\omega_y\,' v_z\,'} + {\color{cyan}\omega_z\,' v_y\,'} + g \sin{\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} = - {\color{cyan}\omega_z\,' v_x\,'} + {\color{cyan}\omega_x\,' v_z\,'} - g \sin{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'} = - {\color{cyan}\omega_x\,' v_y\,'} + {\color{cyan}\omega_y\,' v_x\,'} - g \cos{\color{magenta}\phi}\cos{\color{magenta}\theta} + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} = - \frac{I_{zz}-I_{yy}}{I_{xx}} {\color{cyan}\omega_y\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} = - \frac{I_{xx}-I_{zz}}{I_{yy}} {\color{cyan}\omega_x\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_\theta} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'} = - \frac{I_{yy}-I_{xx}}{I_{zz}} {\color{cyan}\omega_x\,' \omega_y\,'} + \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_\psi}
\end{array}
\right.
\]
As equações acima são completamente não-lineares, o que, além de ser extremamente complexo, foge do escopo do nosso curso.
Para linearizar o sistema, podemos considerar aproximações quando os estados estão bem próximos de suas posições de equilíbrio. Neste caso, funções trigonométricas podem ser aproximadas (ex: \(\cos{\color{magenta}\phi} \approx 1\) e \(\sin{\color{magenta}\phi} \approx {\color{magenta}\phi}\)) (1), assim como o produto entre dois estados (ex: \({\color{cyan}v_z\,' \omega_x\,'} \approx 0\)).
- Essas aproximações valem apenas para ângulos em radianos menores que \(10^{\circ}\).
Exercício 5
Determine as equações dinâmicas do sistema linearizado.
Resposta
\[
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{magenta}\dot{x}} = {\color{cyan}v_x\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\psi}} + {\color{cyan}v_y\,'} \left(\cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\psi}} - \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\psi}}{\sin{\color{magenta}\psi}}\right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\psi}} + \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\psi}}{\sin{\color{magenta}\psi}}\right) \\
{\color{magenta}\dot{y}} = {\color{cyan}v_x\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}}\cancelto{{\color{magenta}\psi}}{\sin{\color{magenta}\psi}} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}}\cancelto{{\color{magenta}\psi}}{\sin{\color{magenta}\psi}} + \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\psi}} \right) + {\color{cyan}v_z\,'} \left( \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}}\cancelto{{\color{magenta}\psi}}{\sin{\color{magenta}\psi}} - \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\psi}} \right) \\
{\color{magenta}\dot{z}} = - {\color{cyan}v_x\,'} \cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}} + {\color{cyan}v_y\,'} \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}} + {\color{cyan}v_z\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\phi}} = {\color{cyan}\omega_x\,'} + {\color{cyan}\omega_y\,'} \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}} \cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\tan{\color{magenta}\theta}} + {\color{cyan}\omega_z\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}} \cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\tan{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}} - {\color{cyan}\omega_z\,'} \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}} \cancelto{1}{\sec{\color{magenta}\theta}} + {\color{cyan}\omega_z\,'} \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}} \cancelto{1}{\sec{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} = - \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_y\,' v_z\,'} + \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_z\,' v_y\,'} + g \cancelto{{\color{magenta}\theta}}{\sin{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} = - \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_z\,' v_x\,'} + \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_x\,' v_z\,'} - g \cancelto{{\color{magenta}\phi}}{\sin{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'} = - \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_x\,' v_y\,'} + \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_y\,' v_x\,'} - g \cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\phi}}\cancelto{1}{\cos{\color{magenta}\theta}} + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} = - \frac{I_{zz}-I_{yy}}{I_{xx}} \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_y\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} = - \frac{I_{xx}-I_{zz}}{I_{yy}} \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_x\,' \omega_z\,'} + \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_\theta} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'} = - \frac{I_{yy}-I_{xx}}{I_{zz}} \cancelto{0}{\color{cyan}\omega_x\,' \omega_y\,'} + \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_\psi}
\end{array}
\right.
\qquad \longrightarrow \qquad
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{magenta}\dot{x}} = {\color{cyan}v_x\,'} + \cancelto{0}{{\color{cyan}v_y\,'} \left( {\color{magenta}\phi\theta} - {\color{magenta}\psi} \right)} + \cancelto{0}{{\color{cyan}v_z\,'} \left( {\color{magenta}\theta} + {\color{magenta}\phi\psi} \right)} \\
{\color{magenta}\dot{y}} = \cancelto{0}{{\color{cyan}v_x\,'}{\color{magenta}\psi}} + {\color{cyan}v_y\,'} \left( \cancelto{0}{{\color{magenta}\phi\theta\psi}} + 1 \right) + \cancelto{0}{{\color{cyan}v_z\,'} \left( {\color{magenta}\theta\psi} - {\color{magenta}\phi} \right)} \\
{\color{magenta}\dot{z}} = \cancelto{0}{{\color{cyan}v_x\,'}{\color{magenta}\theta}} + \cancelto{0}{{\color{cyan}v_y\,'}{\color{magenta}\phi}} + {\color{cyan}v_z\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\phi}} = {\color{cyan}\omega_x\,'} + \cancelto{0}{{\color{cyan}\omega_y\,'}{\color{magenta}\phi\theta}} + \cancelto{0}{{\color{cyan}\omega_z\,'}{\color{magenta}\theta}} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} - \cancelto{0}{{\color{cyan}\omega_z\,'}{\color{magenta}\phi}} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}} = \cancelto{0}{{\color{cyan}\omega_y\,'}{\color{magenta}\phi}} + {\color{cyan}\omega_z\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} = g {\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} = - g {\color{magenta}\phi} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'} = -g + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} = \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} = \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_y} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'} = \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_z}
\end{array}
\right.
\qquad \longrightarrow \qquad
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{magenta}\dot{x}} = {\color{cyan}v_x\,'} \\
{\color{magenta}\dot{y}} = {\color{cyan}v_y\,'} \\
{\color{magenta}\dot{z}} = {\color{cyan}v_z\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\phi}} = {\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}} = {\color{cyan}\omega_z\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} = g {\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} = - g {\color{magenta}\phi} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'} = -g + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} = \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} = \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_y} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'} = \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_z}
\end{array}
\right.
\]
Você deve ter chegado a:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
{\color{magenta}\dot{x}} = {\color{cyan}v_x\,'} \\
{\color{magenta}\dot{y}} = {\color{cyan}v_y\,'} \\
{\color{magenta}\dot{z}} = {\color{cyan}v_z\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\phi}} = {\color{cyan}\omega_x\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\theta}} = {\color{cyan}\omega_y\,'} \\
{\color{magenta}\dot{\psi}} = {\color{cyan}\omega_z\,'} \\
{\color{cyan}\dot{v}_x\,'} = g {\color{magenta}\theta} \\
{\color{cyan}\dot{v}_y\,'} = - g {\color{magenta}\phi} \\
{\color{cyan}\dot{v}_z\,'} = -g + \frac{1}{m} {\color{#65DD18}f_t} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_x\,'} = \frac{1}{I_{xx}} {\color{#65DD18}\tau_x} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_y\,'} = \frac{1}{I_{yy}} {\color{#65DD18}\tau_y} \\
{\color{cyan}\dot{\omega}_z\,'} = \frac{1}{I_{zz}} {\color{#65DD18}\tau_z}
\end{array}
\right.
\]
Essas equações diferenciais podem ser representadas de forma mais simples em um diagrama de blocos:
Observe o seguinte:
- A força \({\color{#65DD18}f_t}\) integra duas vezes até a posição \({\color{magenta}z}\) (2ª lei de Newton para translação), atuando de forma desacoplada na dinâmica de posição vertical.
-
O torque \({\color{#65DD18}\tau_x}\) integra duas vezes até o ângulo \({\color{magenta}\phi}\) (2ª lei de Newton para rotação), e, integrando mais duas vezes, chega-se a posição \({\color{magenta}y}\)(1). Portanto, de \({\color{#65DD18}\tau_x}\) a \({\color{magenta}y}\) há um integrador quádruplo, resultado do acoplamento entre a dinâmica de rotação e a dinâmica de posição horizontal.
- O sinal negativo em \(- g\) decorre da convenção de eixos adotada (uma rotação positiva em torno de \({\color{magenta}x}\) implica em um deslocamento negativo ao longo de \({\color{magenta}y}\)).
-
O torque \({\color{#65DD18}\tau_y}\) integra duas vezes até o ângulo \({\color{magenta}\theta}\) (2ª lei de Newton para rotação), e, integrando mais duas vezes, chega-se a posição \({\color{magenta}x}\)(1). Portanto, de \({\color{#65DD18}\tau_y}\) a \({\color{magenta}x}\) há um integrador quádruplo, resultado do acoplamento entre a dinâmica de rotação e a dinâmica de posição horizontal.
- O sinal positivo em \(g\) decorre da convenção de eixos adotada (uma rotação positiva em torno de \({\color{magenta}y}\) implica em um deslocamento positivo ao longo de \({\color{magenta}x}\)).
-
O torque \({\color{#65DD18}\tau_z}\) integra duas vezes até o ângulo \({\color{magenta}\psi}\) (2ª lei de Newton para rotação), atuando de forma desacoplada na dinâmica de rotação de guinagem.