Sistema de coordenadas

No controle de drones, o uso de sistemas de coordenadas é fundamental para descrever posições e orientações relativas. Alguns exemplos comuns são: a posição do drone em relação ao solo, a orientação da câmera em relação ao drone e a velocidade do drone em relação ao vento.

A escolha do sistema de coordenadas adequado torna muitos cálculos mais simples. Por exemplo, forças e torques aerodinâmicos são mais naturalmente descritos em um sistema de coordenadas móvel (fixo no drone), enquanto a aceleração da gravidade é melhor representada em um sistema de coordenadas inercial (fixo na Terra).

Matriz de rotação

Quando trabalhamos com diferentes sistemas de coordenadas, precisamos de uma forma matemática para descrever a orientação relativa entre eles. Essa função é cumprida pelas matrizes de rotação, que permitem representar rotações tanto no plano (2D) quanto no espaço tridimensional (3D).

2D

Ao descrever a posição de um drone, precisamos definir uma referência. Um método geral é utilizar um sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}yz}\) (1).

Fixo na Terra, que não acelera nem rotaciona.

Já para descrever a atitude (orientação) do drone, apenas esse sistema não é suficiente. É necessário introduzir também um sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}y'z'}\) (1).

Fixo no drone, que acelera e rotaciona com ele.

A atitude do drone é dada, portanto, pela orientação relativa do sistema móvel \({\color{cyan}y'z'}\) em relação ao sistema inercial \({\color{magenta}yz}\). Essa orientação pode ser representada matematicamente por uma matriz \(2 \times 2\) chamada de matrix de rotação \(R\):

\[ {\color{cyan} \begin{bmatrix} y' \\ z' \end{bmatrix} } = \underbrace{ \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix} }_{R} {\color{magenta} \begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix} } \]

Apesar de possuir quatro elementos, essa matriz pode ser descrita em função de um único parâmetro: o ângulo de rotação \(\phi\):

\[ R(\phi)= \begin{bmatrix} r_{11}(\phi) & r_{12}(\phi)\\ r_{21}(\phi) & r_{22}(\phi) \end{bmatrix} \]

Exercício 1

Considere que o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}y'z'}\) está rotacionado de um ângulo \(\phi\) em relação ao sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}yz}\).

a) Escreva a matriz de rotação em função do ângulo \(\phi\).

\[ R(\phi) = \begin{bmatrix} \cos{\phi} & \sin{\phi} \\ -\sin{\phi} & \cos{\phi} \end{bmatrix} \]

b) Calcule \(R(\phi)\) para \(\phi = \frac{\pi}{2} \, \text{rad}\) e interprete o resultado.

\[ R\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{bmatrix} \cos{\frac{\pi}{2}} & \sin{\frac{\pi}{2}} \\ -\sin{\frac{\pi}{2}} & \cos{\frac{\pi}{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \]

O resultado faz sentido: ao rotacionar \(90^{\circ}\), o eixo \({\color{cyan}y'}\) passa a coincidir com \({\color{magenta}z}\), enquanto o eixo \({\color{cyan}z'}\) fica no sentido oposto de \({\color{magenta}y}\).

c) Determine o ângulo \(\phi\) correspondente à matriz
\(R (\phi)= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}\).

\[ \begin{align*} \cos \phi &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \phi &= \cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ \phi &= \frac{\pi}{4} \;\text{rad} \;\; (45^\circ) \end{align*} \]

3D

Assim como no plano, no espaço a atitude do drone também é dada pela atitude relativa do sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) em relação ao sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\).

No entanto, como agora estamos lidando com três dimensões, a matriz de rotação \(R\) passa a possuir dimensão \(3 \times 3\):

\[ {\color{cyan} \begin{bmatrix} x'\\y'\\z' \end{bmatrix} } = \underbrace{ \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} }_{R} {\color{magenta} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} } \]

De acordo com Leonhard Euler, qualquer atitude no espaço pode ser descrita através de três rotações sucessivas em torno de eixos pré-definidos e mutuamente ortogonais(1). Dessa forma, os nove elementos da matriz de rotação podem ser expressos em função de três parâmetros: os ângulos de Euler \(\phi\), \(\theta\) e \(\psi\):

Formam um ângulo de \(90^{\circ}\) entre si.

\[\begin{equation*} R({\phi},{\theta},{\psi}) = \begin{bmatrix} r_{11}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{12}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{13}({\phi},{\theta},{\psi}) \\ r_{21}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{22}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{23}({\phi},{\theta},{\psi}) \\ r_{31}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{32}({\phi},{\theta},{\psi}) & r_{33}({\phi},{\theta},{\psi}) \end{bmatrix} \end{equation*}\]

Exercício 2

Considere que o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) está rotacionado de um ângulo \(\phi\) em relação ao sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\) e em torno do eixo \({\color{magenta}x}\).

a) Escreva a matriz de rotação em função do ângulo \(\phi\).

\[ R_x(\phi) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \]

b) Calcule \(R_x(\phi)\) para \(\phi=\pi \, \text{rad}\) e interprete o resultado.

\[ \begin{align*} R_x\left(\pi\right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \pi & \sin \pi \\ 0 & -\sin \pi & \cos \pi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \end{align*} \]

O resultado faz sentido: uma rotação de \(180^\circ\) em torno de \({\color{magenta}x}\) inverte os eixos \({\color{magenta}y}\) e \({\color{magenta}z}\), de modo que \({\color{cyan}y'}\) e \({\color{cyan}z'}\) ficam em sentidos opostos a \({\color{magenta}y}\) e \({\color{magenta}z}\), enquanto \({\color{cyan}x'}\) permance alinhado com \({\color{magenta}x}\).

Exercício 3

Considere que o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) está rotacionado de um ângulo \(\theta\) em relação ao sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\) e em torno do eixo \({\color{magenta}y}\).

a) Escreva a matriz de rotação em função do ângulo \(\theta\).

\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} \]

b) Calcule \(R_y(\theta)\) para \(\theta=\tfrac{\pi}{2} \, \text{rad}\) e interprete o resultado.

\[ \begin{align*} R_y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{2} & 0 & -\sin\frac{\pi}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\frac{\pi}{2} & 0 & \cos\frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} \]

O resultado faz sentido: ao rotacionar \(90^\circ\) em torno de \({\color{magenta}y}\), o eixo \({\color{cyan}x'}\) passa a apontar para o sentido oposto de \({\color{magenta}z}\) e o eixo \({\color{cyan}z'}\) passa a coincidir com \({\color{magenta}x}\), enquanto o eixo \({\color{cyan}y'}\) permance alinhado com \({\color{magenta}y}\).

Exercício 4

Considere que o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) está rotacionado de um ângulo \(\psi\) em relação ao sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\) e em torno do eixo \({\color{magenta}z}\).

a) Escreva a matriz de rotação em função do ângulo \(\psi\).

\[ R_z(\psi) = \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

b) Calcule \(R_z(\psi)\) para \(\psi=2\pi \, \text{rad}\) e interprete o resultado.

\[ \begin{align*} R_z\left(2\pi\right) = \begin{bmatrix} \cos 2\pi & \sin 2\pi & 0 \\ -\sin 2\pi & \cos 2\pi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} \]

O resultado faz sentido: uma rotação completa de \(360^\circ\) em torno de \({\color{magenta}z}\) devolve \({\color{cyan}x'y'z'}\) exatamente a \({\color{magenta}xyz}\), ou seja, todos os eixos voltam a coincidir.

Propriedades

Matrizes de rotação possuem algumas propriedades fundamentais:

Cada linha e cada coluna tem norma unitária (comprimento igual a 1).
Linhas e colunas são ortogonais entre si (o produto escalar entre elas é zero).
São matrizes ortonormais (sua inversa é igual à transposta), isto é, \(R^{-1} = R^T\).
Possuem determinante unitário, isto é, \(\det (R) = 1\).

Exercício 5

Considere a matriz de rotação \(R\) que relaciona o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) com o sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\):

\[ R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Calcule a matriz de rotação inversa \(R^{-1}\), isto é, que relaciona o sistema inercial \({\color{magenta}xyz}\) com o sistema móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\).

Resposta

\[ R^{-1} = R^{T} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Ângulos de Euler

Os ângulos de Euler são um conjunto de três rotações sucessivas em torno de eixos distintos, que permitem levar o sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\) até o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\).

De acordo com a convenção adotada aqui, usamos:

\(\psi\): rotação em torno do eixo \({\color{magenta}z'}\) (yaw - guinagem)
\(\theta\): rotação em torno do eixo \({\color{magenta}y'}\) (pitch - inclinação)
\(\phi\): rotação em torno do eixo \({\color{magenta}x'}\) (roll - rolagem)

A matriz de rotação total é obtida pela composição das três matrizes individuais.

\[ R(\phi,\theta,\psi) = \underbrace{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} }_{R_x(\phi)} \underbrace{ \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & -\sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} }_{R_y(\theta)} \underbrace{ \begin{bmatrix} \cos\psi & \sin\psi & 0 \\ -\sin\psi & \cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }_{R_z(\psi)} \]

Note

Observe que a primeira rotação aplicada, \(R_z(\psi)\), aparece mais à direita, enquanto a última rotação, \(R_x(\phi)\), aparece mais à esquerda. Isso ocorre porque a multiplicação de matrizes segue a ordem inversa da aplicação das transformações.

Exercício 6

Determine a matriz de rotação total \(R(\phi,\theta,\psi)\) que relaciona o sistema de coordenadas móvel \({\color{cyan}x'y'z'}\) com o sistema de coordenadas inercial \({\color{magenta}xyz}\) em função dos ângulos de Euler \(\phi\), \(\theta\) e \(\psi\).

Dica: utilize o Symbolic Math Toolbox do MATLAB.

Resposta

\[ R (\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix} \cos\theta\cos\psi & \cos\theta\sin\psi & -\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta\cos\psi - \cos\phi\sin\psi & \sin\phi\sin\theta\sin\psi + \cos\phi\cos\psi & \sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi\sin\theta\cos\psi + \sin\phi\sin\psi & \cos\phi\sin\theta\sin\psi - \sin\phi\cos\psi & \cos\phi\cos\theta \end{bmatrix} \]

Singularidades

Singularidades são pontos nos quais uma variável matemática torna-se indefinida. No caso dos ângulos de Euler, é uma orientação na qual há mais de uma única sequência de rotações possíveis.

Quando a segunda rotação é igual a \(\theta = \frac{\pi}{2}\) rad, a direção dos eixos da primeira (\({\color{cyan}z'}\)) e terceira (\({\color{cyan}x'}\)) rotação coincidem, tornando-se impossível discernir os valores de \(\psi\) e \(\phi\).

Não há acordo sobre a notação (sequência de rotações) utilizada pelos ângulos de Euler. Existe um total de 12 combinações, pois a rotação seguinte deve sempre ocorrer em um eixo distinto da anterior, conforme a tabela abaixo:

Notação	Eixo da 1ª rotação	Eixo da 2ª rotação	Eixo da 3ª rotação
\( x\!-\!y\!-\!x \)	\( x' \)	\( y' \)	\( x' \)
\( x\!-\!y\!-\!z \)		\( y' \)	\( z' \)
\( x\!-\!z\!-\!x \)		\( z' \)	\( x' \)
\( x\!-\!z\!-\!y \)		\( z' \)	\( y' \)
\( y\!-\!x\!-\!y \)	\( y' \)	\( x' \)	\( y' \)
\( y\!-\!x\!-\!z \)		\( x' \)	\( z' \)
\( y\!-\!z\!-\!y \)		\( z' \)	\( y' \)
\( y\!-\!z\!-\!x \)		\( z' \)	\( x' \)
\( z\!-\!x\!-\!z \)	\( z' \)	\( x' \)	\( z' \)
\( z\!-\!x\!-\!y \)		\( x' \)	\( y' \)
\( z\!-\!y\!-\!z \)		\( y' \)	\( z' \)
\( z\!-\!y\!-\!x \)		\( y' \)	\( x' \)

Note que todas as combinações possuem singularidades; a única diferença é o ângulo no qual elas ocorrem:

Quando o eixo da primeira e terceira rotação são iguais (Ângulos de Euler), as singularidades ocorrem quando a segunda rotação é igual a \(0 \, \text{rad}\).
Quando o eixo da primeira e terceira rotação são distintos (Ângulos de Tait–Bryan), as singularidades ocorrem quando a segunda rotação é igual a \(\frac{\pi}{2} \, \text{rad}\).

Como a posição de equilíbrio do drone ocorre quando a segunda rotação é igual a \(0 \, \text{rad}\), utiliza-se a notação em que o eixo da primeira e terceira rotação são distintos (\(z-y-x\)), também conhecido por yaw, pitch e roll(1). Assim, a singularidade fica distante de ocorrer (apesar de ainda ser uma possibilidade).

Guinagem (\(\psi\) no eixo \(z\)), inclinação (\(\theta\) no eixo \(y\)) e rolagem (\(\phi\) no eixo \(x\))

Uma alternativa aos ângulos de Euler, que não possuem singularidades, são os quatérnios.